Hallo und herzlich willkommen zu dieser Vorlesung Mathematik für Physikstudierende C.

Wir haben jetzt die letzte Woche noch einen kleinen Crashkurs Funktion Theorie.

Aber das wird alles relativ leicht.

Der Stoff ist anschaulich und wir haben auch nicht mehr so viel Zeit.

Deshalb versuchen wir jetzt dann noch eine grobe Einführung zu geben

und Ihnen die nötigsten Tools und Konzepte mitzugeben.

Funktion Theorie ist prinzipiell Analysis im Komplexen.

Und deshalb machen wir jetzt erstmal eine Wiederholung für die komplexen Zahlen,

was wir da alles brauchen werden.

Also ich setze jetzt hier überall schon voraus, dass Sie wissen, was komplexe Zahlen sind.

Wir machen nur eine ganz kurze Wiederholung.

Also das Kapitel heute sind sogenannte holomorphe Funktionen.

Das wollen wir heute einführen.

Es wird Differenzierbarkeit in C sein.

Holomorphe Funktionen.

Dazu machen wir kurz eine Wiederholung der komplexen Zahlen.

Ich weiß natürlich nicht, wie Sie genau die komplexen Zahlen eingeführt haben,

aber man kann das relativ schnell machen, indem man C betrachtet

als den Körper über R2 mit Plus und Mal, wobei a, b plus c, d gegeben ist

über a plus c und b plus d und die Multiplikation von so einem Tupel ab und cd

ist gegeben über a, c, a, c minus b, d und hinten jetzt bloß keinen Fehler machen,

hinten ist es bc plus a, d. Das ist die Multiplikation.

Typischerweise schreibt man das nicht in der Tupelschreibweise, sondern für z in C,

also z gleich xy in dieser Schreibweise, in der Tupelschreibweise schreibt man eben

eigentlich x plus iy, wobei i die imaginäre Einheit mit i² ist gleich minus 1 ist.

Okay, das sind die komplexen Zahlen. Die komplexen Zahlen sind ein Körper,

also C ist Körper, aber was man auch immer hat, was man zusätzlich als Anschauung hat,

ist das C als reeller Vektorraum, weil wir haben ja die Struktur hier über R2 Isomorph

zu R2 ist. Das werden wir auch teilweise benutzen. Okay, also wir haben einmal die Interpretation

als Körper mit Multiplikation oder eben einfach als reeller Vektorraum der Isomorph zu R2 ist.

Deshalb kann man sich eine komplexe Zahl ja auch immer vorstellen als ein Punkt in der

imaginären Ebene hier, wo wir hier oben i den imaginären Teil antragen und hier den Reallteil.

Dann ist eine komplexe Zahl immer ein Punkt irgendwo in dieser imaginären Ebene.

Okay, paar wichtige Operationen, die wir betrachten, also es sei x plus iy Element,

z gleich x plus iy in C, dann haben wir die Konjugation, die komplexe Konjugation,

die ist gegeben über z konjugiert, wird definiert als x minus iy, wo ich den imaginär Teil abziehe.

Definieren wir das mal gleich, der Reallteil ist Re von z gleich x und der imaginär Teil

ist Im von z gleich y, das sind praktisch jeweils die Zahlen, die uns, praktisch die

Elementen, die Realle und die imaginäre Komponente und dann haben wir noch den Betrag von der

komplexen Zahl, der ist gegeben über der Betrag von z, so die kann man einmal definieren über

die Wurzel z mal z konjugiert und das ist gleich die Wurzel über x Quadrat plus y Quadrat.

Okay, und weil wir eben die Interpretation über den R2 haben, können wir eine komplexe Zahl

auch immer in Polarkoordinaten darstellen. Polarkoordinaten, es existiert genau ein Phi,

ein Winkel aus 0,2 Pi, sodass z gleich R, jetzt sage ich gleich was es ist, R mal Cosinus

Phi plus i Sinus Phi ist, wobei R genau der Betrag der Zahl ist, also R gleich Wurzler

x Quadrat plus y Quadrat. Okay, ganz wichtig hier ist, dass wir eine Metrik haben, die Metrik,

die ist gegeben über d von z,v, einfach definiert ganz kanonisch über z minus v und davon den

Betrag und aus dieser Metrik bekommen wir einmal eine Topologie, heißt wir wissen was

offene Mengen bedeuten, dann bekommen wir Konvergenz, natürlich hier zusammen mit der

Topologie übereinstimmt, genau wir bekommen eine Topologie, wir bekommen Konvergenz und